Mollweide Projektion

Um die Anwendung der Mollweide-Projektion etwas zu vereinfachen folgt hier der Basic Code, geschrieben für Excel. Weil VB den Arcus vom Sinus nicht kennt, wird auch er bereitgestellt. Dies war schon im Dartmouth BASIC (Urgrossmutter) der Fall.

Visual Basic Functions

Function Asin(x)
Asin = Atn(x / Sqr(1 - x * x))
End Function

Function Mollweide(Laenge, Breite)
Dim uu(1), L, y 'Laenge -180 - 180; Breite -90 - 90
L = Laenge / 90: y = MollweideY(Breite) 'x^2/L^2+y^2=1 Ellipse
uu(0) = L * Sqr(1 - y * y): uu(1) = y
Mollweide = uu
End Function

Function MollweideY(Breite)
Dim PI, x, i, B, M1 ' iterative Bestimmung Kugelfläche = Ellipsenfläche
PI = 4 * Atn(1): i = 1: B = Sin(Breite / 180 * PI) 'Flaeche Kugel
x = Breite ' Polynomale Naeherung
x = x * (0.0134466 + x * (0.0000134780916 - 4.275937862E-07 * x))
If x > 1 Then x = 0.9998 'Abfangen der Werte >1 aus dem Polynom
5 M1 = 2 / PI * (x * Sqr(1 - x * x) + Asin(x)) ' Integral der Ellipse
Abl = 4 / PI * Sqr(1 - x * x) ' 1.Ableitung
x = x + (B - M1) / Abl ' Newton-Raphson-Iteration
i = i + 1: If i > 15 Then GoTo 6 'Abbruch zu lange Iteration
If Abs((B - M1)) > 0.0000001 Then GoTo 5 'Genauigkeit erreicht
6 MollweideY = x
End Function


Die Mollweide-Pojektion stellt die ganze Fläche der Erde in einer Ellipse dar. Die vordere Hälfte passt in einen Kreis. Für die hintere Hälfte wird der Kreis rechts und links erweitert. Die Längengrade liegen auf Ellipsen und die Breitengrade auf Geraden. Um Flächentreue zu erreichen werden die Breiten verschoben. Weil das ganze Bild eine Ellipse ist, bleibt das Erdbild an den Polen noch einigermassen erkennbar. Vergleiche mit der einfachen Lambert-Zylinder-Projektion, diese braucht y=sin(Breite') und hat ein Rechteck von 2 Pi R x 2 R als Projektion. Der umschriebene Zylinder besitzt die Kugelfläche.
Die Funktion Mollweide hat als Resultat einen Vektor mit zwei Zellen (x und y). Die Quadratwurzel wird in BASIC durch sqr() aufgerufen. Im Näherungs-Polynom sind meist zwei bis drei Signifikante bereits exakt. Die Iteration von MollweideY bricht normalerweise bei 5 bis 7 mit der geforderten Genauigkeit ab.

Mollweide hat diese Projektionsart erfunden, worauf sie in Vergessenheit geriet. Babinet hat sie unter dem Namen Homalographisch wieder zum Leben erweckt.

Erdkarten: Mollweide
Mollweide-Projektion
Platt-Karte
Hier bilden Längen- und Breitengrade Quadrate. Die Projektion ist weder Flächen- noch Winkeltreu. Sie ist am Aequator und auf den Längengraden längentreu. Loxodromen sind krumm.
Zylinderprojektion nach Lambert
Flächentreue Projektion ab Erdachse auf den umhüllenden Zylinder.

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